Question

如圖，O為矩形ABCD的中心，E，F(xiàn)為平面ABCD同側(cè)兩點(diǎn)，且EF

∥

.

1

2

BC，△CDE和△ABF都是等邊三角形．
（1）求證：FO∥平面ECD；
（2）設(shè)BC=

3

CD，求證：EO⊥平面FCD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取CD中點(diǎn)M，證明四邊形EFOM為平行四邊形，得到 FO∥EM，從而證明FO∥平面CDE．
（Ⅱ） 證明平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM，證明CD⊥平面EOM，可得CD⊥EO，進(jìn)而證得EO⊥平面CDF．

解答： 證明：（Ⅰ）證明：取CD中點(diǎn)M，連接OM．
在矩形ABCD中，OM∥

1

2

BC，且 OM=

1

2

BC，又 EF∥

1

2

BC，且 EF=

1

2

BC，
則 EF∥OM，EF=OM，連接EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形．
∴FO∥EM．
又 FO不在平面CDE內(nèi)，且 EM在平面CDE內(nèi)，
∴FO∥平面CDE．
（Ⅱ）證明：連接FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中，CM=DM，EM⊥CD，
且 EM=

3

2

CD=

1

2

BC=EF，因此，平行四邊形EFOM為菱形，從而，EO⊥FM，而FM∩CD=M，
∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO．而FM∩CD=M，
所以，EO⊥平面CDF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明先面平行、線(xiàn)面垂直的方法，取CD中點(diǎn)M，證明CD⊥平面EOM是解題的難點(diǎn)，屬于基本知識(shí)的考查．