已知函數(shù)
(1)若a=-4,求函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)記函數(shù)g(x)=x2f′(x),若g(x)的最小值是,求f(x)的解析式.
【答案】分析:(1)將a=-4代入函數(shù)的解析式,先求函數(shù)的定義域,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),分析導(dǎo)函數(shù)符號在不同區(qū)間上的取值,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可得結(jié)論;
(2)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥在[1,+∞)上恒成立,構(gòu)造函數(shù)h(x)=并求出其最小值,可得實數(shù)a的取值范圍;
(3)g(x)=x2f′(x)=2x3+ax-2的最小值是,由此構(gòu)造關(guān)于a的方程,解方程求出a值,可得f(x)的解析式.
解答:解:(1)當a=-4時,,(x>0)
==
令f′(x)=0,則x=
∵x∈(0,)時,f′(x)<0,∵當x∈(,+∞)時,f′(x)>0,
∴(0,)為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,
∴(,+∞)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)∵f′(x)=
若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
則f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立
即2x3+ax-2≥0在[1,+∞)上恒成立
即a≥在[1,+∞)上恒成立
令h(x)=,則h′(x)=<0恒成立
故h(x)=在[1,+∞)上單調(diào)遞減
當x=1時,h(x)取最大值0
故a≥0,即實數(shù)a的取值范圍為[0,+∞)
(3)g(x)=x2f′(x)=2x3+ax-2
則g′(x)=6x2+a,
當a≥0時,g′(x)≥0恒成立
此時g(x)在定義域(0,+∞)上無最小值
當a<0時,令g′(x)=6x2+a=0
則x=
∵x∈(0,)時,f′(x)<0,∵當x∈(,+∞)時,f′(x)>0,
∴(0,)為函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,
∴(,+∞)為函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
當x=時,g(x)的最小值g()==,
解得a=-

點評:本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)解析式的求解及常用方法,其中熟練掌握導(dǎo)函數(shù)符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,并又此分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點是解答的關(guān)鍵.
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