Question

設(shè)雙曲線（a，b＞0）兩焦點(diǎn)為F₁、、F₂，點(diǎn)Q為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F₂作∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為M，則M點(diǎn)軌跡是（ ）
A．橢圓的一部分
B．雙曲線的一部分
C．拋物線的一部分
D．圓的一部分

Answer 1

【答案】分析：先作圖，不妨設(shè)Q在雙曲線的右支，延長(zhǎng)F₂M交QF₁于P，在△QF₁F₂中有|QP|=|QF₂|，再由雙曲線的定義得QF₁|-|QP|=2a即|PF₁|=2a，然后由圓的定義得到結(jié)論．
解答：解：不妨設(shè)Q在雙曲線的右支，延長(zhǎng)F₂M交QF₁于P，
在△QF₁F₂中，QM既是角平分線又是高，故|QP|=|QF₂|，
又|QF₁|-|QF₂|=2a，∴|QF₁|-|QP|=2a即|PF₁|=2a，
在△PF₁F₂中，MO是中位線，∴|MO|=a，
∴M點(diǎn)軌跡是圓的一部分
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要是考查數(shù)形結(jié)合的解題方法，在過(guò)程中又考查了雙曲線和圓的定義．