已知橢圓C:(a>b>0),其焦距為2c,若(≈0.618),則稱橢圓C為“黃金橢圓”.
(1)求證:在黃金橢圓C:(a>b>0)中,a、b、c成等比數(shù)列.
(2)黃金橢圓C:(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(c,0),P為橢圓C上的
任意一點(diǎn).是否存在過(guò)點(diǎn)F2、P的直線l,使l與y軸的交點(diǎn)R滿足?若存在,求直線l的斜率k;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)在黃金橢圓中有真命題:已知黃金橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c,0)、F2(c,0),以A(-a,0)、B(a,0)、D(0,-b)、E(0,b)為頂點(diǎn)的菱形ADBE的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)F1、F2.
試寫(xiě)出“黃金雙曲線”的定義;對(duì)于上述命題,在黃金雙曲線中寫(xiě)出相關(guān)的真命題,并加以證明.
(1)證明:由及,得,故a、b、c成等比數(shù)列.(4分) (2)解:由題設(shè),顯然直線l垂直于x軸時(shí)不合題意,設(shè)直線l的方程為, 得,又,及,得點(diǎn)的坐標(biāo)為,(6分) 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,又,得,,故存在滿足題意的直線,其斜率.(10分) (3)黃金雙曲線的定義:已知雙曲線:,其焦距為,若(或?qū)懗?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2103/0022/308fc2ce0a6bb53c35914ceb1fba949b/C/Image56.gif" width=68 HEIGHT=41>),則稱雙曲線為“黃金雙曲線”.(12分) 在黃金雙曲線中有真命題:已知黃金雙曲線:的左、右焦點(diǎn)分別是、,以、、、為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過(guò)頂點(diǎn)、.(14分) 證明:直線的方程為,原點(diǎn)到該直線的距離為,將代入,得,又將代入,化簡(jiǎn)得,故直線與圓相切,同理可證直線、、均與圓相切,即以、為直徑的圓為菱形的內(nèi)切圓,命題得證.(16分) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為( )
(A) (B) (C) (D)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年廣東省高三8月第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分14分)
已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P引圓O:x2+y2=b2的兩條切線PA、PB,A、B分別為切點(diǎn),試探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P,由點(diǎn)P向圓O所引的兩條切線互相垂直?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011年遼寧省高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的
距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求△AOB面積的
最大值.
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