Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若，且方程在區(qū)間內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 極小值為，極大值為. (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）將a＝b＝1代入函數(shù)f（x）的解析式，求函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x），求出極值點，并分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可確定函數(shù)的極大值和極小值；

（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得ex＝ax2+bx+1，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝ex﹣ax2﹣bx﹣1，分析函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)g（x）的極值正負確定方程f（x）＝1在區(qū)間（0，1）內(nèi)有解的等價條件，從而構(gòu)造不等式求出實數(shù)a的取值范圍．

（Ⅰ），當時，，

，得，∴在上單調(diào)遞增；

，得或，∴在和上單調(diào)遞減.

∴的極小值為，極大值為.

（Ⅱ）由得，由得，

設，則在內(nèi)有零點，設為在內(nèi)的一個零點，

由知在和不單調(diào).

設，則在和上均存在零點，即在上至少有兩個零點.

，，

當時，，在上遞增，不可能有兩個及以上零點，

當時，，在上遞減，不可能有兩個及以上零點，

當時，令得，

∴在上遞減，在上遞增，在上存在最小值，

若有兩個零點，則有，，，

，，

設，，則，令，得，

當時，，遞增；當時，，遞減.

∴，∴恒成立.

由，，得.