Question

【題目】已知直線與圓交于，兩點，過點的直線與圓交于，兩點.

若直線垂直平分弦，求實數(shù)的值；

已知點，在直線上（為圓心），存在定點（異于點），滿足：對于圓上任一點，都有為同一常數(shù)，試求所有滿足條件的點的坐標(biāo)及該常數(shù).

Answer 1

【答案】；在直線上存在定點使得為常數(shù).

【解析】

化簡圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓的半徑，轉(zhuǎn)化求解實數(shù)的值；

設(shè)直線上的點，取直線與圓的交點，則，

取直線與圓的交點，則，然后求解存在這樣的定點，進而求證結(jié)論.

解：依題意，圓C方程變形為，圓心，半徑

又直線l的方程即為

因為垂直平分弦，圓心必在直線上

過點和，斜率，

設(shè)直線上的點取直線與圓的交點，則

取直線與圓的交點，則.

令，解得或（舍去，與重合），此時

若存在這樣的定點滿足題意，則必為

下證：點滿足題意.設(shè)圓上任意一點，則

綜上可知，在直線上存在定點使得為常數(shù).