Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2

sin(ωx-

π

4

)，x∈R．
（1）若ω=

1

2

，求f（x）的最大值及相應(yīng)的x的集合；
（2）若x=

π

8

是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，且0＜ω＜10，求ω的值和f（x）的最小正周期．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）把ω的值代入，并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及 特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域求出f（x）的最大值，以及此時(shí)x的集合；
（2）由第一問(wèn)確定的f（x）的解析式以及且x=

π

8

是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，將x=

π

8

代入f（x）解析式中化簡(jiǎn)，得到f（

π

8

）=0，可得出

ωπ

8

-

π

4

=kπ，k為整數(shù)，整理得到ω=8k+2，由ω的范圍列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，由k為整數(shù)得到k=0，可得出ω=2，確定出函數(shù)f（x）解析式，即可求出函數(shù)的最小正周期．

解答： 解：（1）當(dāng)ω=

1

2

時(shí)，f（x）=

2

sin（

x

2

-

π

4

），…（2分）
又-1≤sin（

x

2

-

π

4

）≤1，∴f（x）的最大值為

2

，…（4分）
令

x

2

-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：x=4kπ+

3π

2

，k∈Z，
則相應(yīng)的x的集合為{x|x=4kπ+

3π

2

，k∈Z}；…（6分）
（2）∵f（x）=

2

sin（ωx-

π

4

），且x=

π

8

是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，
∴f（

π

8

）=sin（

ωπ

8

-

π

4

）=0，…（8分）
∴

ωπ

8

-

π

4

=kπ，k∈Z，整理得：ω=8k+2，
又0＜ω＜10，∴0＜8k+2＜10，
解得：-

1

4

＜k＜1，
又k∈Z，∴k=0，ω=2，…（10分）
∴f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
則f（x）的最小正周期為π．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，本題屬于中檔題．