Question

已知

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且

m

⊥

n

．
（1）將y表示為x的函數(shù)f（x），并求f（x）的對(duì)稱軸的方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在y軸的右側(cè)的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)組成一個(gè)數(shù)列{a_n}，求a₁+a₂+…+a₂₀₁₆的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，可得f（x）=2cos2x+2

3

sinxcosx=2sin(2x+

π

6

)+1，令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得即可；
（2）由（1）可得：f（x）的對(duì)稱軸的方程為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．可得a_n=

2(n-1)π

2

+

π

6

=(n-1)π+

π

6

（n∈N^*）．利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=(2cosx+2

3

sinx)cosx-y=0，
∴f（x）=2cos2x+2

3

sinxcosx
=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin(2x+

π

6

)+1，
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的對(duì)稱軸的方程為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
（2）由（1）可得：f（x）的對(duì)稱軸的方程為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
∴a₁=

π

6

，a₂=

2π

2

+

π

6

，
…，
∴a_n=

2(n-1)π

2

+

π

6

=(n-1)π+

π

6

（n∈N^*）．
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₆=

2016( π 6 +2015π+ π 6 )

2

=4056866π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、兩角和差的正弦公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．