【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線與直線在處相切.

①求的值；

②求證：當(dāng)時，；

（2）當(dāng)且時，關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）①②見解析（2）

【解析】

（1）①求出導(dǎo)函數(shù)，由可求得，再由可求得，從而得；②引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值（需二次求導(dǎo)確定），確定最小值是，從而證得不等式成立；

（2）不等式分離參數(shù)得，原題等價于時，有解.求出的最小值即可得，為此先證明不等式，仍然構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與最值得出結(jié)論．應(yīng)用剛證的不等式可得結(jié)論．

解：（1）①因為，所以.

因為曲線與直線在處相切，

所以，所以.

所以，所以.

又切點在直線上，所以，

所以，所以

② 由①知，可設(shè)，

則，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由，所以，

所以存在，使得，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因為，所以，

即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

所以當(dāng)時，，

故當(dāng)時，

(3）先證. 構(gòu)造函數(shù)，則.

故當(dāng)時，，在上遞增，當(dāng)時，，在上遞減，

所以，即

又當(dāng)，且時，等價于

故原題等價于時，有解.

因為（當(dāng)時取等號），

所以.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】近年來，國家為了鼓勵高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，出臺了許多優(yōu)惠政策，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè)．某高校畢業(yè)生小李自主創(chuàng)業(yè)從事海鮮的批發(fā)銷售，他每天以每箱300元的價格購入基圍蝦，然后以每箱500元的價格出售，如果當(dāng)天購入的基圍蝦賣不完，剩余的就作垃圾處理．為了對自己的經(jīng)營狀況有更清晰的把握，他記錄了150天基圍蝦的日銷售量（單位：箱），制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖．

（1）若小李一天購進(jìn)12箱基圍蝦．

①求當(dāng)天的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)天的銷售量（單位：箱，）的函數(shù)解析式；

②以這150天記錄的日銷售量的頻率作為概率，求當(dāng)天的利潤不低于1900元的概率；

（2）以上述樣本數(shù)據(jù)作為決策的依據(jù)，他計劃今后每天購進(jìn)基圍蝦的箱數(shù)相同，并在進(jìn)貨量為11箱，12箱中選擇其一，試幫他確定進(jìn)貨的方案，以使其所獲的日平均利潤最大．

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【題目】函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的部分圖象如圖所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|．

（Ⅰ）求函數(shù)y＝f（x）解析式；

（Ⅱ）求x∈[0，]時，函數(shù)y＝f（x）的值域．

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【題目】已知拋物線：的焦點為，過作斜率為的直線交于，兩點，以線段為直徑的圓.當(dāng)時，圓的半徑為2.

（1）求的方程；

（2）已知點，對任意的斜率，圓上是否總存在點滿足，請說明理由.

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【題目】在“挑戰(zhàn)不可能”的電視節(jié)目上，甲、乙、丙三個人組成的解密團隊參加一項解密挑戰(zhàn)活動，規(guī)則是由密碼專家給出題目，然后由個人依次出場解密，每人限定時間是分鐘內(nèi)，否則派下一個人.個人中只要有一人解密正確，則認(rèn)為該團隊挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.根據(jù)甲以往解密測試情況，抽取了甲次的測試記錄，繪制了如下的頻率分布直方圖.

（1）若甲解密成功所需時間的中位數(shù)為，求、的值，并求出甲在分鐘內(nèi)解密成功的頻率；

（2）在“挑戰(zhàn)不可能”節(jié)目上由于來自各方及自身的心理壓力，甲，乙，丙解密成功的概率分別為，其中表示第個出場選手解密成功的概率，并且定義為甲抽樣中解密成功的頻率代替，各人是否解密成功相互獨立.

①求該團隊挑戰(zhàn)成功的概率；

②該團隊以從小到大的順序按排甲、乙、丙三個人上場解密，求團隊挑戰(zhàn)成功所需派出的人員數(shù)目的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】在正方體中，點是線段上的動點，以下結(jié)論：

①平面；

②；

③三棱錐，體積不變；

④為中點時，直線與平面所成角最大.

其中正確的序號為（ ）

A.①④B.②④C.①②③D.①②③④

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【題目】某病毒研究所為了研究溫度對某種病毒的影響，在溫度t（℃）逐漸升高時，連續(xù)測20次病毒的活性指標(biāo)值y，實驗數(shù)據(jù)處理后得到下面的散點圖，將第1～14組數(shù)據(jù)定為A組，第15～20組數(shù)據(jù)定為B組．

（Ⅰ）某研究員準(zhǔn)備直接根據(jù)全部20組數(shù)據(jù)用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，你認(rèn)為是否合理？請從統(tǒng)計學(xué)的角度簡要說明理由．

（Ⅱ）若根據(jù)A組數(shù)據(jù)得到回歸模型，根據(jù)B組數(shù)據(jù)得到回歸模型，以活性指標(biāo)值大于5為標(biāo)準(zhǔn)，估計這種病毒適宜生存的溫度范圍（結(jié)果精確到0.1）．

（Ⅲ）根據(jù)實驗數(shù)據(jù)計算可得：A組中活性指標(biāo)值的平均數(shù)，方差；B組中活性指標(biāo)值的平均數(shù)，方差．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算全部20組活性指標(biāo)值的平均數(shù)和方差．

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