已知關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x-4asinx-3a（a∈R）的最大值M（a）
（1）求M（a）；
（2）求M（a）的最小值．

解：（1）函數(shù)y=cos2x-4asinx-3a=1-2sin2x-4asinx-3a=-2 （sinx+a）2+2a2-3a+1．
令sinx=t∈[-1，1]，則 函數(shù)y=-2（t+a）2+2a2-3a+1．
當(dāng)-a＜-1 時(shí)，即 a＞1 時(shí)，則t=-1時(shí)，M（a）=-2（-1+a）2+2a2-3a+1=a-1．
當(dāng)-1≤-a≤1 時(shí)，即 1≥a≥-1時(shí)，則t=-a時(shí)，M（a）=2a2-3a+1．
當(dāng)-a＞1 時(shí)，即 a＜-1時(shí)，則t=1時(shí)，M（a）=-2（1+a）2+2a2-3a+1=-7a-1．
綜上，．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，M（a）=a-1，最小值大于0．
當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，M（a）=2a2-3a+1，最小值為-．
當(dāng)a＜-1時(shí)，M（a）=-7a-1＞6．
綜上可得 M（a）的最小值為．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)y的解析式為-2 （sinx+a）2+2a2-3a+1，令sinx=t∈[-1，1]，則 函數(shù)y=-2（t+a）2+2a2-3a+1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在閉區(qū)間[-1，1]的最大值．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，M（a）=a-1，最小值大于0． 當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，M（a）=2a2-3a+1，最小值為-．當(dāng)a＜-1時(shí)，M（a）=-7a-1＞6．綜合可得M（a）的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，二次函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的函數(shù)y=
(1-t)x-t2
x
（t∈R）的定義域?yàn)镈，存在區(qū)間[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．當(dāng)t變化時(shí)，b-a的最大值=
2
3
3
2
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x-4αsinx-3α（α∈R）的最大值M（α）
（1）求M（α）
（2）求M（α）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的函數(shù)y=（3t-2）x是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是
2
3
＜t＜1
2
3
＜t＜1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的函數(shù)y=
x2+1+c
x2+c

（1）若c=-1，求該函數(shù)的值域．
（2）當(dāng)c滿足什么條件時(shí)，該函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）？說明你的理由．
（3）求證：若c＞1，則y≥
1+c
c
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的函數(shù)y=f(x)=a
x
3
 
+b
x
2
 
+cx+d，x∈R（a，b，c，d為常數(shù)且a≠0），f'（x）=0是關(guān)于x的一元二次方程，根的判別式為△，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①△＜0是y=f（x）在（-∞，+∞）為單調(diào)函數(shù)的充要條件；
②若x1、x2分別為y=f（x）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則x2＞x1；
③當(dāng)a＞0，△=0時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
④當(dāng)c=3，b=0，a∈（0，1）時(shí)，y=f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
 
．（填寫你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號(hào)）

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