已知關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x-4αsinx-3α(α∈R)的最大值M(α)
(1)求M(α)
(2)求M(α)的最小值.
分析:(1)化簡得y=-(sinx+2α)2+4α2-3α+1,通過對α范圍的討論即可求得M(α);
(2)由M(α)=
α,       α>
1
2
2-3α+1,-
1
2
≤α≤
1
2
-7α,α<-
1
2
,可求得M(α)的最小值.
解答:解:(1)y=cos2x-4αsinx-3α=(1-sin2x)-4αsinx-3α=-(sinx+2α)2+4α2-3α+1…1分
令sinx=t∈[-1,1],則y=-(t+2α)2+4α2-3α+1…2分
①若-2α<-1,即α>
1
2
,則當(dāng)t=-1時,M(α)=-(-1+2α)2+4α2-3α+1=α…4分
②若-1≤-2α≤1,即-
1
2
≤α≤
1
2
,則當(dāng)t=-2α?xí)r,M(α)=4α2-3α+1…6分
③若-2α>1,即α<-
1
2
,則當(dāng)t=1時,M(α)=-(1+2α)2+4α2-3α+1=-7α…8分
綜上,M(α)=
α,       α>
1
2
2-3α+1,-
1
2
≤α≤
1
2
-7α,α<-
1
2
…9分
(2)當(dāng)α<-
1
2
時,M(α)=-7α>
7
2
,
當(dāng)α>
1
2
時,M(α)=α>
1
2
…11分
當(dāng)-
1
2
≤α≤
1
2
時,M(α)=4α2-3α+1=4(α-
3
8
)
2
+
7
16
,對稱軸為α=
3
8
∈[-
1
2
,
1
2
],
∴當(dāng)α=
3
8
時,M(α)取到最小值
7
16
…13分
綜上比較得,α=
3
8
時,M(α)取到最小值
7
16
…14分
點(diǎn)評:本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性,著重考查分段函數(shù)的應(yīng)用,突出二次函數(shù)的配方法與最值的確定,考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x的函數(shù)y=
(1-t)x-t2
x
(t∈R)的定義域為D,存在區(qū)間[a,b]⊆D,f(x)的值域也是[a,b].當(dāng)t變化時,b-a的最大值=
2
3
3
2
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x的函數(shù)y=(3t-2)x是R上的減函數(shù),則實數(shù)t的取值范圍是
2
3
<t<1
2
3
<t<1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x的函數(shù)y=
x2+1+c
x2+c

(1)若c=-1,求該函數(shù)的值域.
(2)當(dāng)c滿足什么條件時,該函數(shù)的值域為[2,+∞)?說明你的理由.
(3)求證:若c>1,則y
1+c
c

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x的函數(shù)y=f(x)=a
x
3
 
+b
x
2
 
+cx+d
,x∈R(a,b,c,d為常數(shù)且a≠0),f'(x)=0是關(guān)于x的一元二次方程,根的判別式為△,給出下列四個結(jié)論:
①△<0是y=f(x)在(-∞,+∞)為單調(diào)函數(shù)的充要條件;
②若x1、x2分別為y=f(x)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),則x2>x1;
③當(dāng)a>0,△=0時,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
④當(dāng)c=3,b=0,a∈(0,1)時,y=f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減.
其中正確結(jié)論的序號是
 
.(填寫你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案