如圖，和所在平面互相垂直，且，，E、F、G分別為AC、DC、AD的中點(diǎn).
（1）求證：平面BCG；
（2）求三棱錐D-BCG的體積.
附：椎體的體積公式，其中S為底面面積，h為高.

（1）詳見解析；（2）

解析試題分析：（1）由已知得，是的中位線，故，則可轉(zhuǎn)化為證明平面BCG．易證，則有，則在等腰三角形和等腰三角形中，且是中點(diǎn)，故，．從而平面BCG，進(jìn)而平面BCG；（2）求四面體體積，為了便于計(jì)算底面積和高，往往可采取等體積轉(zhuǎn)化法．由平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)，易作出面的垂線，同時(shí)求出點(diǎn)到面的距離，從而可求出點(diǎn)到平面距離，即四面體的高，進(jìn)而求四面體體積．
（1）證明：由已知得．因此．又為中點(diǎn)，所以；同理；因此平面．又．所以平面BCG．
（2）在平面內(nèi)．作．交延長線于．由平面平面．知平面．
又為中點(diǎn)，因此到平面距離是長度的一半．在中，．
所以．

考點(diǎn)：1、直線和平面垂直的判定；2、面面垂直的性質(zhì)；3、四面體的體積．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，點(diǎn)為斜三棱柱的側(cè)棱上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn).

(1) 求證：；
(2) 在任意中有余弦定理：.
拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)． 
(1)求證：//平面；
(2)若平面平面，，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面ABCD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在幾何體ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1.
（1）設(shè)平面ABE與平面ACD的交線為直線，求證：∥平面BCDE；
（2）設(shè)F是BC的中點(diǎn)，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求幾何體ABCDE的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，，為圓柱的母線，是底面圓的直徑，，分別是，的中點(diǎn)，．
（1）證明：；
（2）證明：；
（3）假設(shè)這是個(gè)大容器，有條體積可以忽略不計(jì)的小魚能在容器的任意地方游弋，如果魚游到四棱錐 內(nèi)會(huì)有被捕的危險(xiǎn)，求魚被捕的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱⊥底面 ，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱—中，側(cè)棱垂直底面，，。
（1）求證：；
（2）求二面角——的大小。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（2013•浙江）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC上的點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中點(diǎn)，求DG與PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G滿足PC⊥面BGD，求的值．

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