Question

證明：當x∈[0，1]時，

2

2

x≤sinx≤x．

Answer 1

考點：三角函數(shù)線

專題：證明題,導數(shù)的概念及應用

分析：記F（x）=sinx-

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x，則F′（x）=cosx-

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，分x∈（0，

π

4

）與x∈（

π

4

，1）兩類討論，可證得當x∈[0，1]時，F(xiàn)（x）≥0，即sinx≥

2

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x；記H（x）=sinx-x，同理可證當x∈（0，1）時，sinx≤x，二者結合即可證得結論．

解答： 證明：記F（x）=sinx-

2

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x，則F′（x）=cosx-

2

2

．
當x∈（0，

π

4

）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在[0，

π

4

]上是增函數(shù)；
當x∈（

π

4

，1）時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在[

π

4

，1]上是減函數(shù)；
又F（0）=0，F(xiàn)（1）＞0，所以當x∈[0，1]時，F(xiàn)（x）≥0，即sinx≥

2

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x
記H（x）=sinx-x，則當x∈（0，1）時，H′（x）=cosx-1＜0，
所以H（x）在[0，1]上是減函數(shù)，則H（x）≤H（0）=0，
即sinx≤x．
綜上，

2

2

x≤sinx≤x．

點評：本題考查不等式的證明，突出考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于中檔題．