Question

集合A={y|y=x³，x∈[1，2]}，集合B={x|lnx-ax+2＞0}，且A⊆B，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用

專題：計算題

分析：先求出集合A，將A⊆B轉化為lnx-ax+2＞0在[1，8]，上恒成立，構造函數y=

lnx+2

x

，x∈[1，8]，利用導數求出當x=8時有最小值為

2+ln8

8

=

2+3ln2

8

，得到參數a的范圍．

解答： 解：A={y|y=x³，x∈[1，2]}={y|1≤y≤8}，
∵A⊆B，
∴l(xiāng)nx-ax+2＞0在[1，8]上恒成立，
∴a＜

lnx+2

x

在[1，8]上恒成立，
令y=

lnx+2

x

，x∈[1，8]，
下面求y=

lnx+2

x

，x∈[1，8]的最小值，
∵y′=

-lnx-1

x2

＜0，
∴當x∈[1，8]時，y=

lnx+2

x

單調遞減，
∴當x=8時有最小值為

2+ln8

8

=

2+3ln2

8

，
∴a的范圍為a＜

2+3ln2

8

，
故答案為：（-∞，

2+3ln2

8

）．

點評：本題考查的是集合的包含關系，函數的值域，不等式恒成立，分離參數求最值，是一道中檔題．