【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x2+ax+b,且f(4)=﹣3.
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)上遞減,求實數(shù)b的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且關(guān)于x的方程f(x)=log2m在區(qū)間[﹣3,3]上有解,求m的最大值.

【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)上遞減,∴ ,解得a≤4,

又f(4)=﹣3,∴b=﹣4a+13,

∵a≤4,∴b≥﹣3


(2)解:∵ 解得

∴f(x)=﹣x2+2x+5=﹣(x﹣1)2+6,x∈[﹣3,3],

∴f(x)min=f(﹣3)=﹣10,f(x)max=f(1)=6,

∴f(x)在[﹣3,3]上的值域為[﹣10,6],

∴l(xiāng)og2m∈[﹣10,6],即m∈[210,26],

∴m的最大值為26=64


【解析】(1)利用函數(shù)值以及對稱軸與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系,列出不等式求解即可.(2)利用對稱軸以及函數(shù)值,求出a,b,利用二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最值,求解即可.
【考點精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.

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