Question

（2011•西山區(qū)模擬）為調(diào)查某市學(xué)生百米運(yùn)動成績，從該市學(xué)生中按照男女生比例隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行百米測試，學(xué)生成績?nèi)�部都介�?3秒到18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組[13，14），第二組[14，15）…第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

性別 是否 達(dá)標(biāo)	男	女	合計(jì)
達(dá)標(biāo)	a=24	b= 6	30
不達(dá)標(biāo)	c= 8	d=12	20
合計(jì)	32	18	n=50

（Ⅰ） 設(shè)m，n表示樣本中兩個(gè)學(xué)生的百米測試成績，已知mn∈[13，14）∪[17，18]求事件“|m-n|＞2”的概率；
（Ⅱ） 根據(jù)有關(guān)規(guī)定，成績小于16秒為達(dá)標(biāo)．
如果男女生使用相同的達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，則男女生達(dá)標(biāo)情況如附表：
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為“體育達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)”？若有，你能否提出一個(gè)更好的解決方法來？
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

P（K2≥K）	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.625	10.828

Answer 1

分析：（I）成績在[13，14）的人數(shù)有2人，設(shè)為a，b．成績在[17，18]的人數(shù)有3人，設(shè)為A，B，C；基本事件總數(shù)為10，事件“|m-n|＞2”由6個(gè)基本事件組成．根據(jù)古典概型公式可求出所求．
（Ⅱ）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機(jī)變量的觀測值公式，得到觀測值的結(jié)果，把觀測值的結(jié)果與臨界值進(jìn)行比較，即可求得．

解答：解：（Ⅰ）成績在[13，14）的人數(shù)有：50×0.04=2人，設(shè)為a，b．
成績在[17，18]的人數(shù)有：50×0.06=3人，
設(shè)為A，B，C．m，n∈[13，14）時(shí)有ab一種情況．
m，n∈[17，18]時(shí)有AB，AC，BC三種情況．
m，n分別在[13，14）和[17，18]時(shí)有aA，aB，aC，bA，bB，bC六種情況．
基本事件總數(shù)為10，事件“|m-n|＞2”由6個(gè)基本事件組成．
所以P（|m-n|＞2）=

6

10

=

3

5

（13分）…（6分）
（Ⅱ）依據(jù)題意得相關(guān)的2×2列列聯(lián)表聯(lián)表如下：

性別 是否達(dá)標(biāo)	男	女	合計(jì)
達(dá)標(biāo)	a=24	b=6	30
不達(dá)標(biāo)	c=8	d=12	20
合計(jì)	32	18	n=50

…（9分）
K2=

50×(24×12-6×8)2

32×18×30×20

≈8.333＞6.625，
故有99%的把握認(rèn)為“體育達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)”
故可以根據(jù)男女生性別劃分達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用、頻率分布直方圖，以及古典概型的概率問題、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征等有關(guān)知識，屬于中檔題．