Question

已知函數(shù)，，其中且．

(Ⅰ)當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)若時(shí)，函數(shù)有極值，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù) （是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是否存在a使在上為減函數(shù)，若存在，求實(shí)數(shù)a的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 單調(diào)增區(qū)間是，；(II) ;（III）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 為確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定函數(shù)的單調(diào)性”等步驟.

(Ⅱ) 為確定函數(shù)的極值，往往遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定函數(shù)的極值”等步驟.

本小題根據(jù)函數(shù)有極值，建立的方程，求得，從而得到.根據(jù)的圖象可由的圖象向下平移16個(gè)單位長(zhǎng)度得到，而的圖象關(guān)于（0，0）對(duì)稱，

得到函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo).

（Ⅲ）假設(shè)存在a使在上為減函數(shù)，通過(guò)討論導(dǎo)函數(shù)為負(fù)數(shù)，得到的不等式，達(dá)到解題目的.

試題解析： (Ⅰ) 當(dāng)，

，        1分

設(shè)，即，

所以，或，        2分

單調(diào)增區(qū)間是，；        4分

(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，

所以，        5分

且，即，        6分

所以，

的圖象可由的圖象向下平移16個(gè)單位長(zhǎng)度得到，而的圖象關(guān)于（0，0）對(duì)稱，        7分

所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為；        8分

（Ⅲ）假設(shè)存在a使在上為減函數(shù)，

，

        9分

當(dāng)在上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，則．        10分

由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是，

(1)當(dāng)時(shí)，，在定義域上為增函數(shù)，

不合題意；        11分

(2)當(dāng)時(shí)，由得：，在上為增函數(shù)，則在上也為增函數(shù)，也不合題意；        12分

(3)當(dāng)時(shí)，由得：，在上為減函數(shù)，如果在上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，則：

，所以．        13分

綜上所述，符合條件的a滿足．        14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，不等式的解法.