Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體（如圖），則截去8個(gè)三棱錐后，求剩下的幾何體的體積與原正方體體積比．

Answer 1

分析：由題意，被截得的三棱錐是三條側(cè)棱都等于

1

2

的正三棱錐，且三條側(cè)棱兩兩垂直．由此可得被截得的三棱錐體積為

1

48

，結(jié)合正方體的體積公式，不難得到剩下的幾何體的體積與原正方體體積比．

解答：解：根據(jù)題意，被截得的三棱錐是三條側(cè)棱都等于

1

2

的正三棱錐
∵正三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度都為

1

2

∴以一個(gè)側(cè)面為底時(shí)，它的高等于

1

2

，此時(shí)的底面積S=

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

8

，
∴該三棱錐的體積為V₁=

1

3

×

1

8

×

1

2

=

1

48

∵在正方體的8個(gè)角都截去一個(gè)如圖的三棱錐
∴截去8個(gè)三棱錐后，求剩下的幾何體的體積V=V_正方體-8V₁=1×1×1-

1

48

×8=

5

6

由此可得，剩下的幾何體的體積與原正方體體積比為

5

6

：1=5：6．

點(diǎn)評(píng)：本題將正方體沿8個(gè)頂點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐，求剩余幾何體與正方體的體積之比，著重考查了正方體的性質(zhì)和錐體體積求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．