已知直線l:y=x+,圓O:x2+y2=5,橢圓E:=1(a>b>0)的離心率e=,直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過(guò)圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線,若切線都存在斜率,求證:兩條切線的斜率之積為定值.
(1)=1(2)-1.
【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,圓心O到直線l的距離d==,∴b==,由題意,得∴a2=3,b2=2.∴橢圓E的方程為=1.
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),過(guò)點(diǎn)P的橢圓E的切線l0的方程為y-y0=k(x-x0),
聯(lián)立直線l0與橢圓E的方程,得
消去y,得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,
∴Δ=[4k(y0-kx0)]2-4(3+2k2)[2(kx0-y0)2-6]=0,整理,得(2-)k2+2kx0y0-(-3)=0,設(shè)滿足題意的橢圓E的兩條切線的斜率分別為k1,k2,
則k1·k2=-.∵點(diǎn)P在圓O上,∴+=5.
∴k1·k2=-=-1.∴兩條切線的斜率之積為常數(shù)-1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練訓(xùn)練16練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知拋物線y2=4x,圓F:(x-1)2+y2=1,過(guò)點(diǎn)F作直線l,自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)A,B,C,D(如圖所示),則|AB|·|CD|的值正確的是( ).
A.等于1 B.最小值是1 C.等于4 D.最大值是4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練訓(xùn)練12練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)α和β為兩個(gè)不重合的平面,給出下列四個(gè)命題:
①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線,則α平行于β;②若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行,則l和α平行;③設(shè)α和β相交于直線l,若α內(nèi)有一條直線垂直于l,則α和β垂直;④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直.其中為真命題的是________(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練訓(xùn)練10練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Tn=Sn-(n∈N*),求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練訓(xùn)練10練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1 006和a1 007是方程x2-2 012x-2 011=0的兩根,則使Sn>0成立的正整數(shù)n的最大值是( ).
A.1006 B.1007 C.2011 D.2012
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練優(yōu)化重組卷5練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)圓x2+y2=2的切線l與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)A,B,當(dāng)|AB|取最小值時(shí),切線l的方程為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練優(yōu)化重組卷5練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知圓x2+y2-4x-9=0與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,B都在某雙曲線上,且A,B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線的焦距三等分,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ).
A. =1 B.=1 C.=1 D.
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已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M為棱A1B1的中點(diǎn),N為棱A1D1的中點(diǎn).如圖是該正方體被M,N,A所確定的平面和N,D,C1所確定的平面截去兩個(gè)角后所得的幾何體,則這個(gè)幾何體的正視圖為( ).
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記△ABC各邊的中點(diǎn)分別為D,E,F,在A,B,C,D,E,F中任取4點(diǎn),若這4點(diǎn)為平行四邊形頂點(diǎn),則稱為選取成功.某人連續(xù)進(jìn)行3次這種選取,則至少成功1次的概率是( ).
A. B. C. D.
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