Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）設(shè)函數(shù)h（x）=g（x）﹣f（x），求函數(shù)h（x）在區(qū)間[2，4]上的值域；
（2）定義min（p，q）表示p，q中較小者，設(shè)函數(shù)H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）， ①求函數(shù)H（x）的單調(diào)區(qū)間及最值；
②若關(guān)于x的方程H（x）=k有兩個不同的實根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，

函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴函數(shù)h（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，

故h（2）≤h（x）≤h（4），即0≤h（x）≤13，

所以函數(shù)在區(qū)間[2，4]上的值域為[0，13]

（2）解：①在同一坐標(biāo)系中，作出f（x），g（x）的圖象如圖所示，

根據(jù)題意得，H（x）= ，

由（1）知，y=2x在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，

在區(qū)間上單調(diào)遞減，

故H（x）max=H（2）=4．

∴函數(shù)H（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2]，單調(diào)遞減區(qū)間為（2，+∞），

H（x）有最大值4，無最小值．

②∵ 在[2，+∞）上單調(diào)遞減，∴ ，

又g（x）=2x在（0，2]上單調(diào)遞增，∴1＜2x≤4，

∴要使方程H（x）=k有兩個不同的實根，

則需滿足2＜k＜4，

即實數(shù)k的取值范圍是（2，4）

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)f（x），g（x）的單調(diào)性，求出h（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的值域即可；（2）①根據(jù)函數(shù)f（x），g（x）的圖象求出H（x）的最大值，②根據(jù)H（x）的范圍，求出k的范圍即可．
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．