Question

【題目】已知，是離心率為的橢圓 兩焦點(diǎn)，若存在直線(xiàn)，使得，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線(xiàn)恰好是圓 的一條直徑.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作斜率為，的兩條直線(xiàn)，，兩直線(xiàn)分別與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若是求出該定點(diǎn)，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；(2)定點(diǎn)

【解析】

（1）由對(duì)稱(chēng)可知，橢圓焦距等于圓的直徑，從而得到，再由離心率，求出，得出橢圓方程；（2）設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立橢圓得到韋達(dá)定理，再由列出關(guān)系式，代入韋達(dá)定理，可解出，從而得到直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn).

（1）將圓的方程配方得

所以其圓心為半徑為1.

由題意知，橢圓焦距為等于圓直徑，所以

又，所以，

橢圓的方程為；

（2）因?yàn)?/span>，所以直線(xiàn)斜率存在，

設(shè)直線(xiàn),，

消理得

，（*）

又理得

即

所以

（*）代入得

整理的得,

所以直線(xiàn)定點(diǎn)