Question

某工廠為擴大生產(chǎn)規(guī)模，今年年初新購置了一條高性能的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線在使用過程中的維護費用會逐年增加，第一年的維護費用是4萬元，從第二年到第七年，每年的維護費用均比上年增加2萬元，從第八年開始，每年的維護費用比上年增加25%
（I）設第n年該生產(chǎn)線的維護費用為a_n，求a_n的表達式；
（Ⅱ）設該生產(chǎn)線前n年維護費為S_n，求S_n．

Answer 1

解：（I）由題意知，當n≤7時，{a_n}組成以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n+2，
當n＞7時，{a_n}組成以a₇=16為首項，1+25%=為公差的等比數(shù)列，
∴a_n=16×，
∴a_n=；
（II）當n≤7時，S_n=4n+=n²+3n，
當n＞7時，S_n=70+16××=80×-10．
∴該生產(chǎn)線前n年維護費為S_n=．
分析：（I）根據(jù)題意可得當n≤7時，{a_n}組成以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，當n＞7時，{a_n}組成以a₇=16為首項，1+25%=為公差的等比數(shù)列，從而可求a_n
（II）利用（I）的結(jié)論，結(jié)合等差（等比）數(shù)列的求和公式，由此即可求得該生產(chǎn)線前n年維護費．
點評：本題考查數(shù)列的應用，考查分段函數(shù)，解題的關鍵是構(gòu)建等差數(shù)列、等比數(shù)列模型，屬于中檔題．