Question

（2013•萊蕪二模）某工廠為擴大生產(chǎn)規(guī)模，今年年初新購置了一條高性能的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線在使用過程中的維護費用會逐年增加，第一年的維護費用是4萬元，從第二年到第七年，每年的維護費用均比上年增加2萬元，從第八年開始，每年的維護費用比上年增加25%．
（I）設(shè)第n年該生產(chǎn)線的維護費用為a_n，求a_n的表達式；
（Ⅱ）若該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護費用大于12萬元時，需要更新生產(chǎn)線，求該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護費用，并判斷第幾年年初需要更新該生產(chǎn)線？

Answer 1

分析：（I）當(dāng)n≤7時，數(shù)列{a_n}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列；當(dāng)n≥8時，數(shù)列{a_n}是首項為a₇，公比為

5

4

的等比數(shù)列，故可求n年該生產(chǎn)線的維護費用a_n的表達式；
（II）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1≤n≤7時，當(dāng)n≥8時，S_n，該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護費用

Sn

n

，且{

Sn

n

}為增數(shù)列，從而可求第9年初需要更新該生產(chǎn)線．

解答：解：（I）當(dāng)n≤7時，數(shù)列{a_n}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，a_n=4+2（n-1）=2n+2；
當(dāng)n≥8時，數(shù)列{a_n}是首項為a₇，公比為

5

4

的等比數(shù)列，又a₇=16，∴a_n=16×（

5

4

）^n-7
∴a_n的表達式為a_n=

2n+2，n≤7 16×( 5 4 )n-7，n≥8

；
（II）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得
當(dāng)1≤n≤7時，Sn=4n+n（n-1）=n²+3n…（8分）
當(dāng)n≥8時，由S₇=70，S_n=S₇+16×

5

4

×

1-( 5 4 )n-7

1- 5 4

=80•(

5

4

)n-7-10．
該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護費用

Sn

n

=

n+3，1≤n≤7 80•( 5 4 )n-7-10 n ，n≥8

當(dāng)1≤n≤7時，{

Sn

n

}為增數(shù)列，
當(dāng)n≥8時，∵

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

80•( 5 4 )n-7•( n 4 -1)+10

n(n+1)

＞0，{

Sn

n

}也為增數(shù)列，
又∵

S7

7

=10＜12，

S8

8

=11.25＜12，

S9

9

≈12.78＞12，
則第9年初需要更新該生產(chǎn)線．

點評：本題以實際問題為載體，考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查數(shù)列的通項及求和公式的運用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建等差數(shù)列、等比數(shù)列模型．