Question

已知橢圓E：的左焦點，若橢圓上存在一點D，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段DF₁相切于線段DF₁的中點F．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知兩點Q（-2，0），M（0，1）及橢圓G：，過點Q作斜率為k的直線l交橢圓G于H，K兩點，設線段HK的中點為N，連接MN，試問當k為何值時，直線MN過橢圓G的頂點？
（Ⅲ） 過坐標原點O的直線交橢圓W：于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長交橢圓W于B，求證：PA⊥PB．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接DF₂，F(xiàn)O，由題設條件能夠推導出，在Rt△FOF₁中，b²+（a-b）²=c²=5，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得橢圓G：，設直線l的方程為y=k（x+2），并代入得：（k²+4）x²+4k²x+4k²-4=0，利用根的判別式、中點坐標公式推導出當k=0或或時，直線MN過橢圓G的頂點．
（Ⅲ）法一：由橢圓W的方程為，設P（m，n），則A（-m，-n），C（m，0），直線AC的方程為，過點P且與AP垂直的直線方程為，由此能夠證明PA⊥PB．
法二：由（Ⅰ）得橢圓W的方程為，設P（m，n），則A（-m，-n），C（m，0），故，，由此能夠證明PA⊥PB．
解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）連接DF₂，F(xiàn)O（O為坐標原點，F(xiàn)₂為右焦點），
由題意知：橢圓的右焦點為
因為FO是△DF₁F₂的中位線，且DF₁⊥FO，
所以|DF₂|=2|FO|=2b，
所以|DF₁|=2a-|DF₂|=2a-2b，
故．…（2分）
在Rt△FOF₁中，
即b²+（a-b）²=c²=5，又b²+5=a²，解得a²=9，b²=4，
所求橢圓E的方程為．…（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得橢圓G：
設直線l的方程為y=k（x+2）并代入
整理得：（k²+4）x²+4k²x+4k²-4=0
由△＞0得：，…（5分）
設H（x₁，y₁），K（x₂，y₂），N（x，y）
則由中點坐標公式得：…（6分）
①當k=0時，有N（0，0），直線MN顯然過橢圓G的兩個頂點（0，-2），（0，2）．…（7分）
②當k≠0時，則x≠0，直線MN的方程為
此時直線MN顯然不能過橢圓G的兩個頂點（0，-2），（0，2）；
若直線MN過橢圓G的頂點（1，0），則，即x+y=1，
所以，解得：（舍去），…（8分）
若直線MN過橢圓G的頂點（-1，0），則，即x-y=-1，
所以，
解得：（舍去）．…（9分）
綜上，當k=0或或時，直線MN過橢圓G的頂點．…（10分）
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得橢圓W的方程為，…（11分）
根據(jù)題意可設P（m，n），則A（-m，-n），C（m，0）
則直線AC的方程為，…①
過點P且與AP垂直的直線方程為，…②
①×②并整理得：，
又P在橢圓W上，所以，
所以，
即①、②兩直線的交點B在橢圓W上，所以PA⊥PB．…（14分）
法二：由（Ⅰ）得橢圓W的方程為
根據(jù)題意可設P（m，n），則A（-m，-n），C（m，0），
∴，，
所以直線，
化簡得，
所以，
因為x_A=-m，所以，則．…（12分）
所以，則k_PA•k_PB=-1，故PA⊥PB．…（14分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線垂直的證明，探索滿足條件的實數(shù)的取值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想、分類討論思想和函數(shù)方程思想的合理運用．