Question

已知橢圓E：的左焦點(diǎn)F₁（，0），若橢圓上存在一點(diǎn)D，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段DF₁相切于線段DF₁的中點(diǎn)F。
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知兩點(diǎn)Q（-2，0），M（0，1）及橢圓G：，過(guò)點(diǎn)Q作斜率為k的直線l交橢圓G于H，K兩點(diǎn)，設(shè)線段HK的中點(diǎn)為N，連結(jié)MN，試問(wèn)當(dāng)k為何值時(shí)，直線MN過(guò)橢圓G的頂點(diǎn)？
（Ⅲ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交橢圓W：于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC并延長(zhǎng)交橢圓W于B，求證：PA⊥PB。

Answer 1

解：（Ⅰ）連接（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為右焦點(diǎn)），
由題意知：橢圓的右焦點(diǎn)為，
因?yàn)镕O是的中位線，且，
所以，
所以，
故，
在中，，
即，
又，
解得，
所求橢圓的方程為。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓G：，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）并代入，
整理得：，
由得：，
設(shè)，
則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，
①當(dāng)k=0時(shí)，有N（0，0），直線MN顯然過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，則，直線的方程為，
此時(shí)直線顯然不能過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)；
若直線過(guò)橢圓的頂點(diǎn)，
則，即，
所以，解得：（舍去）；
若直線過(guò)橢圓的頂點(diǎn)，
則，即，
所以，解得：（舍去）；
綜上，當(dāng)或或時(shí)， 直線過(guò)橢圓的頂點(diǎn)。
（Ⅲ）由（Ⅰ）得橢圓的方程為，
根據(jù)題意可設(shè)，則，
則直線的方程為，…①
過(guò)點(diǎn)P且與AP垂直的直線方程為，…②
①×②并整理得：，
又P在橢圓W上，
所以，所以，
即①、②兩直線的交點(diǎn)B在橢圓W上，
所以PA⊥PB。