已知分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，已知是橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．① 求證：；② 若弦過橢圓的右焦點(diǎn)，求直線的方程．

（Ⅰ）；（Ⅱ）①見解析；②.

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為，列出方程組即可求出和；（Ⅱ）①欲證：，只需證：，找到這個(gè)結(jié)論成立的條件，然后證明這些條件滿足即可；②分成和直線斜率存在兩種情況，利用經(jīng)過這一條件，把問題變成直線與橢圓的交點(diǎn)，從而可以借助一元二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系解題.
試題解析：（Ⅰ）由題，，由點(diǎn)在橢圓上知，則有：
，①
又，                   ②
以上兩式可解得，．所以橢圓．                4分
（Ⅱ）① 設(shè)，則直線：、直線：，
兩式聯(lián)立消去得：；
同理：直線：、：，聯(lián)立得：．  6分
欲證：，只需證：，只需證：，
等價(jià)于：，
而，，所以，
故有：．                                 9分
② (1)當(dāng)時(shí)，由可求得：；             10分
(2)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，

由（Ⅱ）知：，
將，代入上式得：，
解得，由①知．
綜合(1) (1)，，故直線：．                      14分.
考點(diǎn)：直線與橢圓的方程.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且過點(diǎn)．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn)，若，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為1，最小值為-2.
（I）求橢圓的方程；
（II）過點(diǎn)作不與軸垂直的直線交該橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)。試判斷的大小是否為定值，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中,直線的極坐標(biāo)方程為：．
（Ⅰ）寫出曲線和直線在直角坐標(biāo)系下的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
（Ⅰ）若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的離心率滿足,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證為鈍角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓C上一點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離最大值為4，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．
分別過，的兩條弦，相交于點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過三點(diǎn)作圓  
（Ⅰ）若線段是圓的直徑，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若圓的圓心在直線上，求橢圓的方程;
（Ⅲ）若直線交（Ⅱ）中橢圓于，交軸于，求的最大值  

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓圓動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
（2）是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長(zhǎng)時(shí),求.

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同步練習(xí)冊(cè)答案