Question

已知函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0時(shí)，f（x）＞2．
（1）求f（0）的值，并證明：當(dāng)x＜0時(shí)，1＜f（x）＜2；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令y=0得，f（x）=f（x）f（0）-f（x）-f（0）+2，[f（x）-1][f（0）-2]=0；從而解得f（0）=2；再令x+y=0，y=-x，從而證明x＜0時(shí)，1＜f（x）＜2；
2）先判斷f（x）是單調(diào)增函數(shù)，再由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）令y=0得，f（x）=f（x）f（0）-f（x）-f（0）+2，
即[f（x）-1][f（0）-2]=0；
又∵x＞0時(shí)，f（x）＞2；
∴f（0）-2=0，即f（0）=2；
∵f（x+y）=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2=[f（x）-1][f（y）-1]+1，
∴f（x+y）-1=[f（x）-1][f（y）-1]，
設(shè)x+y=0，y=-x，
f（0）-1=[f（x）-1][f（-x）-1]=1，
又∵x＞0時(shí)，f（x）＞2，
∴f（x）-1=

1

f(-x)-1

＞1，
即0＜f（-x）-1＜1，故，1＜f（-x）＜2，
故x＜0時(shí)，1＜f（x）＜2；
2）f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，證明如下，
任取x₁＞x₂，x₁-x₂＞0，f（x₁-x₂）＞2，f（x₂）＞1；
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂）f（x₂）-f（x₁-x₂）-f（x₂）+2-f（x₂）
=f（x₁-x₂）[f（x₂）-1]-2[f（x₂）-1]
=[f（x₁-x₂）-2][f（x₂）-1]＞0
故f（x₁）＞f（x₂），
則f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的值域的求法及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．