Question

一企業(yè)的某產(chǎn)品每件利潤100元，在未做電視廣告時(shí)，日銷售量為b件．當(dāng)對(duì)產(chǎn)品做電視廣告后，記每日播n次時(shí)的日銷售量為a_n（n∈N^*）件，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每日播一次則日銷售量a_l件b件的基礎(chǔ)上增加

b

2

件，每日播二次則日銷售量a₂件在每日播一次時(shí)日銷售量a_l件的基礎(chǔ)上增加

b

4

件…，每日播n次，該產(chǎn)品的該產(chǎn)品的日銷售a_n件在每日播n-1次時(shí)的日銷售量件a_n-1的基礎(chǔ)上增加

b

2n

件．合同約定：每播一次企業(yè)需支付廣告費(fèi)2b元．
（Ⅰ）試求出a_n與n的關(guān)系式；
（Ⅱ）該企業(yè)為了獲得扣除廣告費(fèi)后的日利潤最大，求每日電視廣告需播多少次．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)每日播一次則日銷售量a_l件b件的基礎(chǔ)上增加

b

2

件，每日播二次則日銷售量a₂件在每日播一次時(shí)日銷售量a_l件的基礎(chǔ)上增加

b

4

件…，每日播n次，該產(chǎn)品的該產(chǎn)品的日銷售a_n件在每日播n-1次時(shí)的日銷售量件a_n-1的基礎(chǔ)上增加

b

2n

件，可得遞推關(guān)系，再采用等比數(shù)列的求和公式，即可求出a_n與n的關(guān)系式；
（Ⅱ）求出企業(yè)為了獲得扣除廣告費(fèi)后的日利潤，確定其單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)電視廣告播放量為每天i次時(shí)，該產(chǎn)品的銷售量為為a_i（0≤i≤n，）．
由題意，ai=

b i=0 ai-1+ b 2i 1≤i≤n，i∈N*

，
∴an=b+(

b

2

+

b

22

+…+

b

2n

)=b(2-

1

2n

)，
所以，該產(chǎn)品每天銷售量a_n（件）與電視廣告播放量n（次/天）的函數(shù)關(guān)系式為an=b(2-

1

2n

)，n∈N*．
（Ⅱ）設(shè)該企業(yè)為了獲得扣除廣告費(fèi)后的日利潤最大，每日電視廣告需播n次．
則有cn=100b(2-

1

2n

)-2bn=100b(2-0.02n-

1

2n

)
∵cn-cn-1= 100b(0.02-

1

2n

)≥0，∴2ⁿ≤50，∴n≤5
∵cn+1-cn= 100b(0.02-

1

2n+1

)≤0，∴2ⁿ≥25，∴n≥5
∴n=5
∴要使設(shè)該企業(yè)為了獲得扣除廣告費(fèi)后的日利潤最大，每日電視廣告需播5次

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的建立與運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生閱讀分析問題的能力，綜合性強(qiáng)．