Question

直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y²=2x相交于A、B兩點(diǎn)，O為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，若OA⊥OB．證明：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析：聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，利用消元法得到關(guān)于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，建立關(guān)于參數(shù)k，b的關(guān)系，消去b可得y=kx-2k=k（x-2），顯然直線(xiàn)恒過(guò)（2，0），注意對(duì)直線(xiàn)的斜率的討論．

解答：證明：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（I）當(dāng)直線(xiàn)l有存在斜率時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．（2分）
聯(lián)立方程得：

y=kx+b y2=2x

消去y得k²x²+（2kb-2）x+b²=0
由題意：x1x2=

b2

k2

，&

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=

2b

k

（5分）
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，（7分）
即

b2

k2

+

2b

k

=0，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）
故直線(xiàn)l的方程為：y=kx-2k=k（x-2），故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（2，0）（11分）
（II）當(dāng)直線(xiàn)l不存在斜率時(shí)，設(shè)它的方程為x=m，顯然m＞0
聯(lián)立方程得：

x=m y2=2x

解得y=±

2m

，即y₁y₂=-2m
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直線(xiàn)l方程為：x=2，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（2，0）
綜合（1）（2）可知，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，以及證明直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．