Question

16．某企業(yè)共有20條生產(chǎn)線，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的影響，會(huì)產(chǎn)生一定量的次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)p萬(wàn)件與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x萬(wàn)件（4≤x≤12）之間滿足關(guān)系：p=0.1125x²-3.6lnx+1．已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的產(chǎn)品可以以盈利3萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元．
（Ⅰ）試將該企業(yè)每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)y表示為x的函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)的利潤(rùn)最大，最大為多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件直接列出該企業(yè)每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)y表示為x的函數(shù)；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值以及單調(diào)性，求解函數(shù)的最值即可．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）根據(jù)題意，該企業(yè)所得利潤(rùn)為：y=20•[3（x-p）-p]=20（3x-4p）=60x-80p…（2分）
=60x-80（0.1125x²-3.6lnx+1）=60x-9x²+288lnx-80（4≤x≤12）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$y'=60-18x+\frac{288}{x}=\frac{{60x-18{x^2}+288}}{x}$…（6分）
=$\frac{{-6（3{x^2}-10x-48）}}{x}=\frac{-6（3x+8）（x-6）}{x}$．
令y'=0，可得x=6或$x=-\frac{8}{3}$．…（8分）
從而當(dāng)4＜x＜6時(shí)，y'＞0，函數(shù)在（4，6）上為增函數(shù)；
當(dāng)6＜x＜12時(shí)，y'＜0，函數(shù)在（6，12）上為減函數(shù)．…（9分）
所以當(dāng)x=6時(shí)函數(shù)取得極大值，
即當(dāng)x=6時(shí)，${y_{min}}=60×6-9×{6^2}+288ln6-80=288ln6-44$，…（12分）
所以每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為6萬(wàn)件時(shí)，該企業(yè)的利潤(rùn)最大，
最大利潤(rùn)為288ln6-44（萬(wàn)元）．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的解析式的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．