Question

如圖所示，已知圓，定點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足，，點(diǎn)的軌跡為曲線．

(Ⅰ) 求曲線的方程；
(Ⅱ) 若點(diǎn)在曲線上，線段的垂直平分線為直線，且成等差數(shù)列，求的值，并證明直線過(guò)定點(diǎn)；
（Ⅲ）若過(guò)定點(diǎn)(0，2)的直線交曲線于不同的兩點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)、之間），且滿足，求的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意知，圓的圓心為，半徑．
∵．
∴ 為線段的垂直平分線，∴ ．
又∵ ，∴ ．
∴ 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)（－1，0），（1，0）為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．                                              ……………………2分                            
∴ ．
∴ 曲線的方程為．                    ……………………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲線的軌跡為橢圓，為右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線方程為
設(shè)到直線的距離為．
根據(jù)橢圓的定義知,
得．
同理可得：，．      ……………………5分
∵ 成等差數(shù)列，
∴ ，代入得．     ……………………6分
下面證明直線過(guò)定點(diǎn)．
由，可設(shè)線段的中點(diǎn)為（．
∴    得．
∴ 直線的斜率，則直線的方程為：，
即．                              ……………………8分
∴ 直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為．          　      ……………………9分
（Ⅲ）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，
代入橢圓，得．
由得．                     　      ……………………10分
設(shè)，，    ①
 ．     ②
又∵ ，
即．       ∴ ．   ③
由①②③聯(lián)立得，     
即，整理得 ． ………………12分
∵ ，∴ ，
∴ ，解得且．
又∵ ，  ∴ ．                 ……………………13分
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)，即．
∴ ，即所求的取值范圍是．         ……………………14分