(2011•中山市三模)已知橢圓C1、拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上,C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O,從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:
x 1 -
5
2
2
y -2
2
0 -4
15
5
(Ⅰ)求C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)曲線的C2的焦點(diǎn)B的直線l與曲線C1交于M、N兩點(diǎn),與y軸交于E點(diǎn),若
EM
1
MB
EN
2
NB
,求證:λ12為定值.
分析:(Ⅰ)設(shè)拋物線C2:y2=2px,則有
y2
x
=2p
(x≠0),據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知(1,-2
2
)、(2,-4)在拋物線上可求拋物線方程,設(shè)C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),把點(diǎn)(-
5
,0)(
2
,
15
5
)代入可求橢圓方程
(Ⅱ)證明:設(shè)M,N,E點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M(x1,y1)N(x2,y2),E(0,y0),B(2,0).由點(diǎn)B在橢圓C1內(nèi),故過(guò)點(diǎn)B的直線l必與橢圓相交.
EM
1
MB
,可得(x1,y1-y0)=λ2(2-x1,-y1),將M點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程可得
1
5
(
2λ1
1+λ1
)
2
+(
y0
1+λ1
) 2=1
,由
EN
=λ2
NB
同理可求,從而可求
解答:解:(Ⅰ)設(shè)拋物線C2:y2=2px,則有
y2
x
=2p
(x≠0),
據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知(1,-2
2
)、(2,-4)在拋物線上,易求y2=8x…(2分)
設(shè)C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),把點(diǎn)(-
5
,0)(
2
,
15
5
)代入得:
5
a2
=1
2
a2
+
3
5b2
=1
a=
5
b=1
C1方程為
x2
5
+y2=1
…(5分)
(Ⅱ)證明:設(shè)M,N,E點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M(x1,y1)N(x2,y2),E(0,y0),
又易知B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0).且點(diǎn)B在橢圓C1內(nèi),故過(guò)點(diǎn)B的直線l必與橢圓相交.
EM
1
MB
,∴(x1,y1-y0)=λ1(2-x1,-y1
x1=
2λ1
1+λ1
,y1=
y0
1+λ1
,.   …(8分)
將M點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中得:
1
5
(
2λ1
1+λ1
)
2
+(
y0
1+λ1
) 2=1
,
去分母整理,得λ12+10λ1+5-5y02=0. …(10分)
同理,由
EN
=λ2
NB
可得:λ22+10λ2+5-5y02=0. …(12分)
∴λ1,λ2是方程x2+10x+5-5y02=0的兩個(gè)根,∴λ12=10.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了拋物線的方程及橢圓方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了計(jì)算的能力.
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12
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,則AC邊所在的直線的方程為
x-2y+5=0
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