【題目】如圖1是四棱錐的直觀圖,其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖均為直角三角形,俯視圖外框?yàn)榫匦,相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示.
(1)設(shè)中點(diǎn)為,在直線上找一點(diǎn),使得平面,并說明理由;
(2)若二面角的平面角的余弦值為,求四棱錐的外接球的表面積.
【答案】(1) 見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)利用中位線定理構(gòu)造平行四邊形,得到;(2) 由二面角的平面角的余弦值為,得到,明確外接球的直徑即為PB,易得四棱錐的外接球的表面積.
試題解析:
(1)當(dāng)是中點(diǎn)時(shí), 平面,
證明如下:取中點(diǎn),連接、、,
在中, 、分別是、的中點(diǎn),
∴是的中位線,
∴且,又是中點(diǎn), ,
∴且,
∴四邊形是平行四邊形,
∴.
又∵平面, 平面,
∴平面.
(2)由三視圖可得平面,
在底面中,過作交于點(diǎn),連接,
∵平面, 平面,∴,
又, 平面,
平面,∵,∴平面,
又平面,∴,
∴是二面角的平面角,
在底面矩形, , ,∴, ,
在中,又,
∴,∴.
由直觀圖易知四棱錐的外接球的直徑即為,
∴.
故四棱錐的外接球的表面積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有6名奧運(yùn)會(huì)志愿者,其中志愿者通曉日語, 通曉俄語, 通曉韓語,從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名,組成一個(gè)小組.
(1)求被選中的概率;
(2)求和不全被選中的概率;
(3)若6名奧運(yùn)會(huì)志愿者每小時(shí)派兩人值班,現(xiàn)有兩名只會(huì)日語的運(yùn)動(dòng)員到來,求恰好遇到的概率.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)在上有最小值2?若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1,圖中粗線畫出的是某幾何體毛坯的三視圖,第一次切削,將該毛坯得到一個(gè)表面積最大的長方體;第二次切削沿長方體的對(duì)角面刨開,得到兩個(gè)三棱柱;第三次切削將兩個(gè)三棱柱分別沿棱和表面的對(duì)角線刨開得到兩個(gè)鱉臑和兩個(gè)陽馬,則陽馬與鱉臑的體積之比為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.
(1)求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意,.
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【題目】已知圓.
(1)求證:對(duì)任意實(shí)數(shù),該圓恒過一定點(diǎn);
(2)若該圓與圓外切,求的值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形ABCD的一邊AB在x軸上,另一邊CD在x軸上方,且AB=8,BC=6,其中A(-4,0)、B(4,0)
(1)若A、B為橢圓的焦點(diǎn),且橢圓經(jīng)過C、D兩點(diǎn),求該橢圓的方程;
(2)若A、B為雙曲線的焦點(diǎn),且雙曲線經(jīng)過C、D兩點(diǎn),求雙曲線的方程;
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【題目】設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?/span>Dn,記Dn內(nèi)的格點(diǎn)(格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為f(n)(n∈N*).
(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表達(dá)式;
(2)設(shè)bn=2nf(n),Sn為{bn}的前n項(xiàng)和,求Sn;
(3)記,若對(duì)于一切正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是棱長為2的正方形,側(cè)面PAD為正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分別為棱AB、PC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求三棱錐B-EFC的體積;
(3)求二面角P-EC-D的正切值.
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