Question

【題目】公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1 ， a2 ， a5成等比數(shù)列，且該數(shù)列的前10項和為100，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn ， 且滿足Sn= ，n∈N* ．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（2）記得數(shù)列{ }的前n項和為Tn ， 求Tn的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1，a2，a5成等比數(shù)列，且該數(shù)列的前10項和為100，

∴ =a1a5，即 =a1（a1+4d），10a1+ d=100，聯(lián)立解得a1=1，d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

又滿足Sn= ，n∈N*，∴Sn=2bn﹣1，當n=1時，b1=2b1﹣1，解得b1=1．

當n≥2時，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣1﹣（2bn﹣1﹣1），化為：bn=2bn﹣1，

∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，首項為1，公比為2．

∴bn=2n﹣1．

（2）解： = = ．

∴前n項和為Tn= + +…+ ，

= +…+ + ，

∴ = +…+ ﹣ = ﹣ =1﹣ ，

∴Tn=2﹣ ．

n≥2時，Tn﹣Tn﹣1= ＞0．

∴數(shù)列{Tn}單調遞增，

∴ Tn＜2．

【解析】（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，由于a1 ， a2 ， a5成等比數(shù)列，且該數(shù)列的前10項和為100，可得 =a1a5 ， 即 =a1（a1+4d），10a1+ d=100，聯(lián)立解得a1 ， d，即可得出an ． 又滿足Sn= ，n∈N* ， 可得Sn=2bn﹣1，利用遞推關系可得：bn ． （2） = ．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式，數(shù)列的單調性即可得出．
【考點精析】通過靈活運用等差數(shù)列的通項公式（及其變式）和等比數(shù)列的通項公式（及其變式），掌握通項公式：或；通項公式：即可以解答此題．