【題目】已知圓x2+y2=4上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點,P,Q為圓上的動點.

(1)求線段AP中點的軌跡方程;
(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程.

【答案】
(1)解:設AP中點為M(x,y),

由中點坐標公式可知,P點坐標為(2x﹣2,2y)

∵P點在圓x2+y2=4上,∴(2x﹣2)2+(2y)2=4.

故線段AP中點的軌跡方程為(x﹣1)2+y2=1


(2)解:設PQ的中點為N(x,y),

在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,

設O為坐標原點,則ON⊥PQ,

所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,

所以x2+y2+(x﹣1)2+(y﹣1)2=4.

故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2﹣x﹣y﹣1=0.


【解析】(1)設出AP的中點坐標,利用中點坐標公式求出P的坐標,據(jù)P在圓上,將P坐標代入圓方程,求出中點的軌跡方程.(2)利用直角三角形的中線等于斜邊長的一半得到|PN|=|BN|,利用圓心與弦中點連線垂直弦,利用勾股定理得到
|OP|2=|ON|2+|PN|2 , 利用兩點距離公式求出動點的軌跡方程.

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