Question

就m的不同取值，指出方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m）所表示的曲線的形狀，并證明．

Answer 1

考點：二元二次方程表示圓的條件

專題：直線與圓

分析：對于所給的方程，當m=1、m=3時，易得方程表示的圖形；當m≠1，且 m≠3時，方程即

x2

(m-3)

+

y2

(m-1)

=1，再分3-m=m-1、（3-m）（m-1）大于零、小于零三種情況，分別求得方程表示的曲線形狀，綜合可得結論．

解答：解：對于方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m），①當m=1時，方程即2y²=0，即 y=0，表示x軸；
②當m=3時，方程即2x²=0，即 x=0，表示y軸；
③當m≠1，且 m≠3時，方程即

x2

(m-3)

+

y2

(m-1)

=1，
若3-m=m-1，即m=2時，方程即為圓：x²+y²=1，表示一個單位圓； 
若（3-m）（m-1）＜0，即m＞3或者m＜1時，方程表示雙曲線；
若（3-m）（m-1）＞0且3-m≠m-1，即1＜m＜3，且m≠2時，方程表示橢圓．
綜合可得：當m=1，方程表示x軸，當m=3；方程表示y軸；當m=2時，方程表示圓；當1＜m＜3且不等于2時，方程表示橢圓；
當m＞3或者m＜1時，方程表示雙曲線．

點評：本題主要考查二元二次方程表示圓的條件，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．