某出版社新出版一本高考復(fù)習(xí)用書,該書的成本為5元/本,經(jīng)銷過程中每本書需付給代理商m元(1≤m≤3)的勞務(wù)費(fèi),經(jīng)出版社研究決定,新書投放市場(chǎng)后定價(jià)為元/本(9≤≤11),預(yù)計(jì)一年的銷售量為萬本.
(1)求該出版社一年的利潤(rùn)(萬元)與每本書的定價(jià)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每本書的定價(jià)為多少元時(shí),該出版社一年的利潤(rùn)最大,并求出的最大值.
(1);(2)若,則當(dāng)每本書定價(jià)為元時(shí),出版社一年的利潤(rùn)最大,最大值(萬元);若,則當(dāng)每本書定價(jià)為11元時(shí),出版社一年的利潤(rùn)最大,最大值(萬元).
解析試題分析:本題是實(shí)際問題的考查,考查函數(shù)的最值,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值.第一問,利用每本書的銷售利潤(rùn)銷售量列出表示式,在這一問中,要注意注明函數(shù)的定義域;第二問,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值,先求導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)為0,解出方程的根,由于這是實(shí)際問題,應(yīng)考慮根必須在定義域內(nèi),討論根是否在內(nèi),分2種情況,分別判斷單調(diào)性求出最值,最后綜合上述2種情況得出結(jié)論.
試題解析:(1)該出版社一年的利潤(rùn)(萬元)與每本書定價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為:
. 5分(定義域不寫扣1分)
(2). 6分
令得或x=20(不合題意,舍去). 7分
, .在兩側(cè)的值由正變負(fù).
①當(dāng)即時(shí),
在即是增函數(shù),在是減函數(shù).
②當(dāng)即時(shí)在上是增函數(shù),
所以
答:若,則當(dāng)每本書定價(jià)為元時(shí),出版社一年的利潤(rùn)最大,最大值(萬元);若,則當(dāng)每本書定價(jià)為11元時(shí),出版社一年的利潤(rùn)最大,最大值(萬元) 12分
考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),是大于零的常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)證明:曲線上存在一點(diǎn),使得曲線上總有兩點(diǎn),且成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(I)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(II)在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是正實(shí)數(shù),設(shè)函數(shù)。
(Ⅰ)設(shè),求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在,使且成立,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng),時(shí),求函數(shù)的最大值;
(2)令,其圖象上存在一點(diǎn),使此處切線的斜率,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng),時(shí),方程有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)在上是增函數(shù),
(1)求實(shí)數(shù)的取值集合;
(2)當(dāng)取值集合中的最小值時(shí),定義數(shù)列;滿足且,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)當(dāng)時(shí),若存在使得對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍。
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