Question

（本題16分）已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)的底數(shù)，，

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，試判斷：是否存在整數(shù)k，使得方程在

   上有解？若存在，請(qǐng)寫出所有可能的k的值；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在唯一的整數(shù)。

【解析】

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912074573388654/SYS201207091208347495144833_DA.files/image005.png">所以，取根的中間；

即不等式恒成立，分類討論：

且時(shí)，

數(shù)形結(jié)合：

如圖：

若，

，

若，如圖：

（1）方程在

   上有解，需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合。

（1） 即，由于，所以

所以解集為；

（2）當(dāng)時(shí)，即不等式恒成立，

       ①若，則，該不等式滿足在時(shí)恒成立；

       ②由于，

       所以有兩個(gè)零點(diǎn)，

       若，則需滿足    即，此時(shí)無解；

       ③若，則需滿足，即，所以，

    綜上所述，a的取值范圍是。

（3）方程即為，設(shè)，

        由于和均為增函數(shù)，則也是增函數(shù)，

        又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912074573388654/SYS201207091208347495144833_DA.files/image035.png">，，

        所以該函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，又由于函數(shù)為增函數(shù)，所以該函數(shù)有且僅有

        一個(gè)零點(diǎn)，所以方程有且僅有一個(gè)根，且在內(nèi)，所以存在唯

        一的整數(shù)。