Question

已知函數(shù)f（x）=（2a²+1）ln（-x）+a（2x-1），a∈R
（1）討論函數(shù)f（x）在其定義域上的單調(diào)性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[-1，-

1

2

]上的零點的個數(shù)．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對數(shù)的運算性質(zhì),根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域（-∞，0），再求導f′（x），從而討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）討論a的取值，從而利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點的判定定理求解零點的個數(shù)．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（2a²+1）ln（-x）+a（2x-1），
∴-x＞0，即x＜0，
∴f（x）的定義域為（-∞，0）；
對f（x）求導，得f′（x）=

2a2+1

-x

•（-1）+2a=

2a2+1

x

+2a，
①當a≤0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
②當a＞0時，f′（x）=

2a2+1

x

+2a=

2ax+2a2+1

x

，
∴當x∈（-∞，-

2a2+1

2a

）時，f′（x）＞0，
x∈（-

2a2+1

2a

，0）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-

2a2+1

2a

）上是單調(diào)增函數(shù)，在（-

2a2+1

2a

，0）上單調(diào)減函數(shù)；
（2）①當a=0時，f（x）=ln（-x），
令ln（-x）=0，解得x=-1，
∴f（x）在[-1，-

1

2

]上有一個零點；
②當a＞0時，
∵

2a2+1

2a

-1=

2(a- 1 2 )2+ 1 2

2a

＞0，
∴[-1，-

1

2

]⊆（-

2a2+1

2a

，0），
即f（x）在[-1，-

1

2

]上是單調(diào)減函數(shù)，
又∵f（-1）=-3a＜0，
f（-

1

2

）=-2a-（2a²+1）ln2＜0，
∴f（x）在[-1，-

1

2

]上沒有零點；
③當a＜0時，f（x）在[-1，-

1

2

]上單調(diào)遞減，
又∵f（-1）=-3a＞0，
f（-

1

2

）=-2a-（2a²+1）ln2＜0，
∴f（x）在[-1，-

1

2

]上有一個零點；
綜上，a≤0時，f（x）在[-1，-

1

2

]有一個零點，
a＞0時，f（x）在[-1，-

1

2

]上無零點．

點評：本題考查了求函數(shù)的定義域以及利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與零點的應用問題，是綜合性題目．