(2013•遼寧一模)已知:函數(shù)f(x)=-x3+mx在(0,1)上是增函數(shù).
(1)求實數(shù)m的取值的集合A;
(2)當m取集合A中的最小值時,定義數(shù)列{an}:滿足a1=3,且an>0,an+1=
-3f(an)+9
-2
,求數(shù)列{an}的通項公式
(3)若bn=nan數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求證:Sn
1
2
分析:(1)由函數(shù)f(x)是增函數(shù),利用導數(shù)得m≥3x2對任意x∈(0,1)恒成立,從而求出m的范圍,即求出集合A;
(2)由(1)中的m的最小值為3,得到f′(x),從而將an+1=
-3f(an)+9
-2
變形得到數(shù)列{an-1}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,即可求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)由(2)可求bn=nan=2n•3n-1+nSn=2(1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1)+(1+2+3+…+n),再利用錯位相減法化簡得到Sn=
1
2
+
(2n-1)3n
2
+
(1+n)n
2
,顯然sn
1
2
,從而得證
解答:解:(1)f′(x)=-3x2+m≥0對任意x∈(0,1)恒成立,
所以:m≥3x2對任意x∈(0,1)恒成立,得m≥3即A=[3,+∞)
(2)由m=3得:f(x)=-x3+3x?f′(x)=-3x2+3
所以:an+1=
-3(-3an2+3)+9
-2…(an>0)

得:an+1-1=3(an-1)所以數(shù)列{an-1}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列
所以:an-1=2•3n-1?an=2•3n-1+1
(3)bn=nan=2n•3n-1+nSn=2(1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1)+(1+2+3+…+n)
令:Tn=1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1
3 Tn=1•31+2•32+…+(n-1)•3n-1+n•3n
-2 Tn=30+31+32+…+3n-1-n•3n=
1•(1-3n)
-2
-n•3n=
1-3n+2n3n
-2

所以Tn=
1+(2n-1)3n
4
Sn=
1
2
+
(2n-1)3n
2
+
(1+n)n
2
1
2
點評:此題考查導數(shù)的應用及數(shù)列求和常用的方法--錯位相減法.
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n
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3
)
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x2
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-
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a2
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sinC
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+
cosC
sinB
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,則m=
sinθ
sinθ
.(用θ表示)

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