已知橢圓=1上任意一點(diǎn)P,由P向x軸作垂線段PQ,垂足為Q,點(diǎn)M在線段PQ上,且=2,點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程;

(2)若過定點(diǎn)F(0,2)的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)G,H(點(diǎn)G在點(diǎn)F,H之間),且滿足=2,求直線l的方程.

(1)+y2=1(2)y=±x+2


解析:

(1)設(shè)M(x,y),P(x0,y0),

=2,∴

將其代入橢圓方程得=1

得曲線E的方程為:+y2=1.

(2)設(shè)G(x1,y1)、H(x2,y2),

=2,∴x2=2x1                                                                                                                                                                        

依題意,當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),G(0,1),H(0,-1),不滿足=2.故設(shè)直線l:y=kx+2,代入曲線E的方程并整理得(1+2k2)x2+8kx+6=0,                                          (*)

∴x1+x2=-,x1·x2=                                                                                                         ②

聯(lián)立①②解得k=±,此時(shí)(*)中Δ>0.

所以直線l的方程為:y=±x+2.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
1
2
,一條準(zhǔn)線方程為x=4.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)A,B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸,點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),直線AP交l于點(diǎn)M,設(shè)直線OM的斜率為k1,直線BP的斜率為k2,求證:k1k2為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•棗莊一模)已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大值為3,圓C2x2+y2+8x-2
3
y+7=0
,點(diǎn)A是橢圓上的頂點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn).
(1)求橢圓C1的方程;
(2)若直線AP與圓C2相切,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是點(diǎn)N,直線MP,NP分別交x軸于點(diǎn)E(x1,0),點(diǎn)F(x2,0),探究x1•x2是否為定值.若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•靜安區(qū)一模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-c,0)、F2(c,0),c2是a2與b2的等差中項(xiàng),其中a、b、c都是正數(shù),過點(diǎn)A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為
3
2

(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓上一動點(diǎn),定點(diǎn)A1(0,2),求△F1PA1面積的最大值;
(3)已知定點(diǎn)E(-1,0),直線y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點(diǎn).證明:對任意的t>0,都存在實(shí)數(shù)k,使得以線段CD為直徑的圓過E點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044

有如下命題:已知橢圓=1,AA′是橢圓的長軸,P(x1,y1)是橢圓上異于A、A′的任意一點(diǎn),過P點(diǎn)斜率為-的直線l,若直線l上的兩點(diǎn)MM′在x軸上的射影分別為A、A′,則?

       (1)|AM|·|AM′|為定值4.

       (2)由A、A′、M′、M四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的最小值為12.??

       請分析上述命題,并根據(jù)上述問題對橢圓=1(a>b>0)構(gòu)造出一個(gè)具有一般性結(jié)論的命題.寫出這一命題,判斷這一命題的真假.

      

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有如下命題:已知橢圓=1,AA′是橢圓的長軸,P(x1,y1)是橢圓上異于AA′的任意一點(diǎn),過P點(diǎn)斜率為-的直線l,若直線l上的兩點(diǎn)M、M′在x軸上的射影分別為A、A′,則

       (1)|AM|·|AM′|為定值4.

       (2)由A、A′、M′、M四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的最小值為12.?

       請分析上述命題,并根據(jù)上述問題對橢圓=1(a>b>0)構(gòu)造出一個(gè)具有一般性結(jié)論的命題.寫出這一命題,判斷這一命題的真假.

      

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