【題目】函數(shù)f(x)= 是定義在區(qū)間(﹣1,1)上的奇函數(shù),且f(2)=
(1)確定函數(shù)f(x)的解析式;
(2)用定義法證明f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù);
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.

【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)= 是定義在區(qū)間(﹣1,1)上的奇函數(shù),

∴f(﹣x)=﹣f(x),

=﹣ ,

∴b=﹣b,

∴b=0

又∵f(2)= = ,

∴a=1,

∴函數(shù)f(x)=


(2)解:證法一:設(shè)任意﹣1<x1<x2<1,

∴x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0,

∴f(x1)﹣f(x2)=

=

∴f(x1)<f(x2

∴f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù)

證法二:∵函數(shù)f(x)= ,

∴f′(x)= ,

當(dāng)x∈(﹣1,1)時(shí),

f′(x)>0恒成立,

∴f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù)


(3)解:由題意知f(t﹣1)+f(t)<0

∴f(t﹣1)<﹣f(t)

∴f(t﹣1)<f(﹣t)

∴﹣1<t﹣1<﹣t<1

∴0<t<


【解析】(1)由函數(shù)f(x)= 是定義在區(qū)間(﹣1,1)上的奇函數(shù),且f(2)= ,求出a,b的值,可得函數(shù)f(x)的解析式;(2)證法一:設(shè)任意﹣1<x1<x2<1,求出f(x1)﹣f(x2),并判斷符號(hào),進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù);證法二:求導(dǎo),并分析出當(dāng)x∈(﹣1,1)時(shí),f′(x)>0恒成立,進(jìn)而得到f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù)(3)不等式f(t﹣1)+f(t)<0可化為:﹣1<t﹣1<﹣t<1,解得答案.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí),掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較,以及對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解,了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

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