Question

若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，則△ABM與△ABC面積之比等于

1：4

．

Answer 1

分析：欲求△ABM的面積與△ABC面積之比，而這兩個(gè)三角形同底只需求高之比即可，過C作AB的垂線交AB與點(diǎn)D，過點(diǎn)M作AB的垂線交AB與點(diǎn)E，取AH=

1

4

AC，AN=

3

4

AB，過點(diǎn)H作AB的垂線交AB與點(diǎn)F，可得S△ABM：S△ABC=ME：CD=HF：CD=AH：AC，得到結(jié)論．

解答：解：∵

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，
∴M，B，C 三點(diǎn)共線
過C作AB的垂線交AB與點(diǎn)D，過點(diǎn)M作AB的垂線交AB與點(diǎn)E
取AH=

1

4

AC，AN=

3

4

AB，過點(diǎn)H作AB的垂線交AB與點(diǎn)F
∵

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，
∴

AM

=

AH

+

AN

即AHMN構(gòu)成平行四邊形，則HF=ME
而S_△ABM：S_△ABC=ME：CD=HF：CD=AH：AC=

1

4

∴△ABM的面積與△ABC面積之比為1：4．
故答案為：1：4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵利用同（等）底三角形面積這比等于高之比，屬于中檔題．