Question

已知函數(shù)，
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）∵定義域?yàn)镽，且f（-x）=，∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）f（x）=，
當(dāng)a＞1時(shí)
∵x≥0
∴a^x+1≥2，
∴，
即f（x）的值域?yàn)閇0，1）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)
∵x≥0
∴1＜a^x+1≤2，
∴，
即f（x）的值域?yàn)椋?1，0]．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇0，1）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?1，0]．
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=
∵分母大于零，且a＜a，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
分析：（1）用定義法，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再研究f（-x）與f（x）的關(guān)系．若相等，則為偶函數(shù)；若相反，則為奇函數(shù)；
（2）先將函數(shù)式變形f（x）=，再對(duì)a進(jìn)行分類討論：當(dāng)a＞1時(shí)；當(dāng)0＜a＜1分別求出即f（x）的值域，最后綜合即可；
（3）用定義法，先在定義域上任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形看符號(hào)．當(dāng)自變量變化與函數(shù)值變化一致時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)自變量變化與函數(shù)值變化相反時(shí)，為減函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)綜合題，函數(shù)奇偶性的判斷與函數(shù)單調(diào)性的判斷及指數(shù)函數(shù)的值域和單調(diào)性，熟練掌握函數(shù)的各種性質(zhì)及判斷方法是解答本題的關(guān)鍵．