【題目】已知函數(shù)f(x)= ,其中m,n,k∈R.
(1)若m=n=k=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若n=k=1,且當(dāng)x≥0時,f(x)≥1總成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若m>0,n=0,k=1,若f(x)存在兩個極值點x1、x2 , 求證: <f(x1)+f(x2)<

【答案】
(1)解:m=n=k=1,f′(x)=

∴0<x<1,f′(x)<0,x<0或x>1時,f′(x)>0,

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1),單調(diào)增區(qū)間是(﹣∞,0),(1,+∞);


(2)解:若n=k=1,且當(dāng)x≥0時,f(x)≥1總成立,則m≥0.

m=0,f(x)= ,f′(x)= ≥0,∴f(x)min=f(0)=1;

m>0,f′(x)=

0<m≤ ,f(x)min=f(0)=1;

m≥ ,f(x)在[0, ]上為減函數(shù),在[ ,+∞)上為增函數(shù),f(x)min<f(0)=1不成立.

綜上所述,0≤m≤


(3)證明:f(x)= ,f′(x)=

∵f(x)存在兩個極值點x1,x2,∴4m2﹣4m>0,∴m>1.

令f′(x)=0,x1+x2=2,x1x2= ,

注意到 (i=1,2),

∴f(x1)= ,f(x2)= ,

∴f(x1)+f(x2)= =

= =

)< ,

<f(x1)+f(x2)<


【解析】(1)若m=n=k=1,求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若n=k=1,且當(dāng)x≥0時,f(x)≥1總成立,先確定m≥0,在分類討論,確定函數(shù)的最小值,即可求實數(shù)m的取值范圍;(3)令f′(x)=0,x1+x2=2,x1x2= ,再結(jié)合基本不等式,即可證明結(jié)論.
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊系列答案
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正方形, E、F分別為PA、PD的中點,在此幾何體中,

給出下面四個結(jié)論:

直線BE與直線CF異面;直線BE與直線AF異面;

直線EF//平面PBC; 平面BCE平面PAD.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是

A. 1B. 2C. 3D. 4

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(1)將y表示為x的函數(shù);

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觀眾對涼山分會場表演的看法

非常好

中國人且非四川(人數(shù)比例)

四川人(非涼山)(人數(shù)比例)

涼山人(人數(shù)比例)


(1)從這三類人群中各選一個人,求恰好有2人認(rèn)為“非常好”的概率(用比例作為相應(yīng)概率);
(2)若在四川人(非涼山)群中按所持態(tài)度分層抽樣,抽取9人,在這9人中任意選取3人,認(rèn)為“非常好”的人數(shù)記為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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甲產(chǎn)品所需工時

乙產(chǎn)品所需工時

A設(shè)備

2

3

B設(shè)備

4

1

若A設(shè)備每月的工時限額為400h,B設(shè)備每月的工時限額為300h,則該廠每月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品可獲得的最大利潤為(
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C.50萬元
D.55萬元

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(2)設(shè)過F與l垂直的直線與y軸相交于點A,P是l上異于原點O的點,當(dāng)A,O,F(xiàn),P四點在同一圓上時,求這個圓的極坐標(biāo)方程及點P的極坐標(biāo).

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