Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后．得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為

40

3

．
（1）求A₁A的長；
（2）在線段BC₁上是否存在點P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用體積轉(zhuǎn)化VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1，求A₁A的長；
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，過Q作QP∥CB交BC₁于點P，推出A₁P⊥C₁D，證明A₁P⊥C₁D，推出△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，再求求線段A₁P的長．

解答：解：（1）∵VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1
=2×2×AA1-

1

3

×

1

2

×2×2×AA1=

10

3

AA1=

40

3

，∴AA₁=4．（5分）
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，
過Q作QP∥CB交BC₁于點P，則A₁P⊥C₁D．（7分）
因為A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，∴A₁P⊥C₁D．（10分）
∵△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，
∴

C1Q

CD

=

D1C1

C1C

，∴C1Q=1
又∵PQ∥BC，∴PQ=

1

4

BC=

1

2

．
∵四邊形A₁PQD₁為直角梯形，且高D1Q=

5

，
∴A1P=

(2- 1 2 )2+5

=

29

2

．（14分）

點評：本題考查組合幾何體的面積、體積問題，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．