已知向量
m
=(cosx,sinx),
n
=(cosx,cosx)
,設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n

(I)求f(x)的解析式,并求最小正周期;
(II)若函數(shù)g(x)的圖象是由函數(shù)f(x)的圖象向右平移
π
8
個(gè)單位得到的,求g(x)的最大值及使g(x)取得最大值時(shí)x的值.
分析:(I)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,結(jié)合三角恒等變換公式化簡(jiǎn),得數(shù)f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
,再由三角函數(shù)的周期公式即可算出求最小正周期T;
(II)根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式,可得g(x)=f(x-
π
8
)=
2
2
sin2x+
1
2
,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),可得當(dāng)x=
π
4
+kπ(k∈Z),g(x)=
2
2
sin2x+
1
2
取得最大值
2
2
+
1
2
,得到本題的答案.
解答:解:(I)∵向量
m
=(cosx,sinx),
n
=(cosx,cosx)

∴函數(shù)f(x)=
m
n
=cos2x+sinxcosx=
1
2
(1+cos2x)+
1
2
sin2x=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2

即f(x)的解析式為y=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
,最小正周期為T(mén)=
2
=π;
(II)將f(x)的圖象向右平移
π
8
個(gè)單位,得到y(tǒng)=f(x-
π
8
)=
2
2
sin[2(x-
π
8
)+
π
4
]+
1
2
,
即y=
2
2
sin2x+
1
2
的圖象,因此g(x)=
2
2
sin2x+
1
2

令2x=
π
2
+2kπ(k∈Z),得x=
π
4
+kπ(k∈Z)
∴當(dāng)x=
π
4
+kπ(k∈Z),g(x)=
2
2
sin2x+
1
2
取得最大值
2
2
+
1
2

即[g(x)]max=
2
2
+
1
2
,相應(yīng)的x=
π
4
+kπ(k∈Z)
點(diǎn)評(píng):本題以向量的數(shù)量積運(yùn)算為載體,求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k的圖象與性質(zhì).著重考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
m
=(cos θ,sin θ)
n
=(
2
-sin θ,cos θ)
,θ∈(π,2π),且|
m
+
n
|=
8
2
5
,求sinθ和cos(
θ
2
+
π
8
)
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
m
=(cosα-
2
3
,-1),
n
=(sinα,1)
m
n
α∈(-
π
2
,0)

(1)求sinα-cosα的值.
(2)求
1+sin2α+cos2α
1+tanα
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
m
=(cosωx,sinωx)
n
=(cosωx,
3
cosωx)
,設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n

(1)若f(x)的最小正周期是2π,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是x=
π
6
,(0<ω<2),求f(x)的周期和值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
m
=(cosα-
2
3
,-1),
n
=(sinα,1),
m
n
為共線向量,且α∈[-π,0].
(Ⅰ)求sinα+cosα的值
(Ⅱ)求
sin2α
sinα-cosα
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
m
=(cosθ,sinθ),
n
=(1-
3
sinθ,
3
cosθ)
,θ∈(0,π),若|
m
+
n
|=2
2
,求cos(
θ
2
+
π
6
)
的值.

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