已知向量
m
=(cos θ，sin θ)和
n
=(
2
-sin θ，cos θ)，θ∈（π，2π），且|
m
+
n
|=
8
2
5
，求sinθ和cos(
θ
2
+
π
8
)的值．
分析：根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出
m
+
n
，然后表示出
m
+
n
的模，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、兩角和的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，讓模等于
8
2
5
，列出關(guān)于cos（θ+
π
4
）的方程，兩邊平方即可得到cos（θ+
π
4
）的值，根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式化簡cos（θ+
π
4
），得到cos2(
θ
2
+
π
8
)的值，然后根據(jù)θ的范圍求出
θ
2
+
π
8
的范圍，進(jìn)而判斷出cos（
θ
2
+
π
8
）的正負(fù)，開方即可求出值．
解答：解：
m
+
n
=(cosθ-sinθ+
2
，cosθ+sinθ)，
|
m
+
n
|=
(cosθ-sinθ+
2
)2+(cosθ+sinθ)2

=
4+2
2
(cosθ-sinθ)

=
4+4cos(θ+
π
4
)
．
=2
1+cos(θ+
π
4
)

由已知|
m
+
n
|=
8
2
5
，得cos(θ+
π
4
)=
7
25
，
∴sin（θ+
π
4
）=
1-(
7
25
)2
=
24
25
，
∴sinθ=sin[（θ+
π
4
）-
π
4
]=
2
2
×（
24
25
-
7
25
）=
17
2
50
；
又cos(θ+
π
4
)=2cos2(
θ
2
+
π
8
)-1，
所以cos2(
θ
2
+
π
8
)=
16
25
．
∵π＜θ＜2π，∴
5π
8
＜
θ
2
+
π
8
＜
9π
8
，
∴cos(
θ
2
+
π
8
)＜0．
∴cos(
θ
2
+
π
8
)=-
4
5
．
點評：此題考查學(xué)生會求向量的模，靈活運用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，靈活運用二倍角的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，是一道綜合題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)
m
∥
n
且α∈(-
π
2
，0)
（1）求sinα-cosα的值．
（2）求
1+sin2α+cos2α
1+tanα
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosωx，sinωx)，
n
=(cosωx，
3
cosωx)，設(shè)函數(shù)f(x)=
m
•
n
．
（1）若f（x）的最小正周期是2π，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）的圖象的一條對稱軸是x=
π
6
，（0＜ω＜2），求f（x）的周期和值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)，
m
與
n
為共線向量，且α∈[-π，0]．
（Ⅰ）求sinα+cosα的值
（Ⅱ）求
sin2α
sinα-cosα
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosθ，sinθ)，
n
=(1-
3
sinθ，
3
cosθ)，θ∈（0，π），若|
m
+
n
|=2
2
，求cos(
θ
2
+
π
6
)的值．

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