Question

(本小題滿分15分)
在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，且a₁，a₂，a₅是等比數(shù)列{b_n}的前三項．
(1)求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
(2)設(shè)c_n=a_n·b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（1）b_n=3^{n－1；（2）}（2）S_n=(n－1)·3ⁿ+1

本試題主要是考查了數(shù)列的概念，和數(shù)列的求和，尤其是等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的運用，以及利用錯位相減法求解數(shù)列的和的思想的綜合運用。
（1）根據(jù)已知的項之間的關(guān)系式，運用基本元素表示得到數(shù)列的通項公式的求解
（2）結(jié)合第一問中的結(jié)論，得到c_n=a_n·b_n=(2n－1)·3^n－1，的通項公式，分析通項公式的特點，選擇錯位相減法求解數(shù)列的和。
解: (1)由a₁，a₂，a₅是等比數(shù)列{b_n}的前三項得，
a₂²= a₁·a₅⇒(a₁+d)²=a₁· (a₁+4d)                            ········ 2分
⇒a₁²+2a₁d+ d² = a₁²+4a₁d⇒d² =2a₁d，又d≠0，所以d=2a₁=2，
從而a_n= a₁+(n－1) d=2n－1，                            ·········· 5分
則b₁= a₁=1，b₂= a₂=3，
則等比數(shù)列{b_n}的公比q=3，從而b_n=3^n－1．               ··········· 7分
(2)由(1)得，c_n=a_n·b_n=(2n－1)·3^n－1，                       ········ 8分
則S_n= 1·1+3·3+5·3²+7·3³+…+(2n－1)·3^n－1               ①
3S_n=    1·3+3·3²+5·3³+…+(2n－3)·3^n－1+(2n－1)·3ⁿ       ②  ······· 10分
①－②得， －2S_n= 1·1+2·3+2·3²+2·3³+…+2·3^n－1－(2n－1)·3ⁿ 
=1+2×－(2n－1)·3ⁿ=－2 (n－1)·3ⁿ－2             ······· 13分
則S_n=(n－1)·3ⁿ+1．                                    15分