【答案】
分析:若(1)(2)→甲,由(1)利用平方差及完全平方公式變形得到關(guān)于a,b及c的關(guān)系式,利用余弦定理表示出cosC,把得到的關(guān)系式代入求出cosC的值,由C為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值求出C為60°,再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)(2)中的等式,得到sin(B-C)=0,由B和C為三角形的內(nèi)角,得到B-C的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值得到B=C,從而得到三角形為等邊三角形;
若(2)(4)→乙,利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)(2)中的等式,得到sin(B-C)=0,由B和C為三角形的內(nèi)角,得到B-C的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值得到B=C,再利用正弦定理化簡(jiǎn)(4)中的等式,得到a=
b,利用勾股定理的逆定理得到∠A為直角,從而得到三角形為等腰直角三角形;
若(3)(4)→乙,利用正弦定理化簡(jiǎn)(4)中的等式,得到a=
b,利用勾股定理的逆定理得到∠A為直角,再利用正弦定理化簡(jiǎn)(3)中的兩等式,分別表示出sinA,兩者相等再利用二倍角的正弦函數(shù)公式,得到sin2B=sin2C,由B和C都為三角形的內(nèi)角,可得B=C,從而得到三角形為等腰直角三角形.三者選擇一個(gè)即可.
解答:解:由(1)(2)為條件,甲為結(jié)論,得到的命題為真命題,理由如下:
證明:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,變形得:
a
2+b
2+2ab-c
2=3ab,即a
2+b
2-c
2=ab,
則cosC=
=
,又C為三角形的內(nèi)角,
∴C=60°,
又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,
即sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0,
∵-π<B-C<π,
∴B-C=0,即B=C,
則A=B=C=60°,
∴△ABC是等邊三角形;
以(2)(4)作為條件,乙為結(jié)論,得到的命題為真命題,理由為:
證明:化簡(jiǎn)得:sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,
即sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0,
∵-π<B-C<π,
∴B-C=0,即B=C,
∴b=c,
由正弦定理
=
=
=2R得:
sinA=
,sinB=
,sinC=
,
代入
得:
2R•(
-
)=(
a-b)•
,
整理得:a
2-b
2=
ab-b
2,即a
2=
ab,
∴a=
b,
∴a
2=2b
2,又b
2+c
2=2b
2,
∴a
2=b
2+c
2,
∴∠A=90°,
則三角形為等腰直角三角形;
以(3)(4)作為條件,乙為結(jié)論,得到的命題為真命題,理由為:
證明:由正弦定理
=
=
=2R得:
sinA=
,sinB=
,sinC=
,
代入
得:
2R•(
-
)=(
a-b)•
,
整理得:a
2-b
2=
ab-b
2,即a
2=
ab,
∴a=
b,
∴a
2=2b
2,又b
2+c
2=2b
2,
∴a
2=b
2+c
2,
∴∠A=90°,
又b=acosC,c=acosB,
根據(jù)正弦定理得:sinB=sinAcosC,sinC=sinAcosB,
∴
=
,即sinBcosB=sinCcosC,
∴sin2B=sin2C,又B和C都為三角形的內(nèi)角,
∴2B=2C,即B=C,
則三角形為等腰直角三角形.
故答案為:(1)(2)→甲 或 (2)(4)→乙 或 (3)(4)→乙
點(diǎn)評(píng):此題考查了三角形形狀的判斷,涉及的知識(shí)有正弦、余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,勾股定理,等邊三角形的判定,等腰三角形的判定與性質(zhì),屬于條件開放型題,是一類背景新、解題活、綜合性強(qiáng)、無(wú)現(xiàn)成模式的題型.解答此類題需要運(yùn)用觀察、類比、猜測(cè)、歸納、推理等多種探索活動(dòng)尋求解題策略.